Perbedaan eliminasi gauss dengan eliminasi Gauss-Jordan

Sejarah :

Salah satu metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linier adalah metode eliminasi Gauss-Jordan. Metode ini diberi nama Gauss-Jordan untuk menghormati "CarlFriedrich Gauss dan Wilhelm Jordan". Metode ini sebenarnya adalah modifikasi dari metode eliminasi Gauss, yang dijelaskan oleh Jordan di tahun 1887.

Penjelasan :

Metode Gauss-Jordan : menghasilkan matriks dengan bentuk baris eselon yang tereduksi 

(reduced row echelon form)

Eliminasi Gauss : hanya menghasilkan matriks sampai pada bentuk baris eselon

(row echelon form).

Metode Eliminasi Gauss adalah metode yang dikembangkan dari metode eliminasi, yaitu menghilangkan atau mengurangi jumlah variable sehingga dapat diperoleh nilai dari suatu variable yang bebas.

Eliminasi Gauss-Jordan adalah pengembangan dari eliminasi Gauss yang hasilnya lebih sederhana lagi. Caranya adalah dengan meneruskan operasi baris dari eliminasi Gauss sehingga menghasilkan matriks yang Eselon-baris. Ini juga dapat digunakan sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan matriks. Metode Gauss Jordan ini digunakan untuk mencari invers dari sebuah matriks.

Prosedur umum  Gauss-Jordan : 

1. Ubah sistem persamaan linier yang ingin dihitung menjadi matriks augmentasi.

2. Lakukan operasi baris elementer pada matriks augmentasi (A|b) untuk mengubah matriks

   A menjadi dalam bentuk baris eselon yang tereduksi

Pengubahan dilakukan dengan membuat matriks yang elemen-elemennya adalah koefisien-

koefisien dari sistem persamaan linier..

Sedangkan langkah-langkah pada operasi baris elementer yaitu :

1.Menukar posisi dari 2 baris.

Ai ↔Aj

2.Mengalikan baris dengan sebuah bilangan skalar positif.

Ai = k*Aj

3.Menambahkan baris dengan hasil kali skalar dengan baris lainnya

Algoritma Metode Eliminasi Gauss adalah:

1. Masukkan matrik A, dan vektor B beserta ukurannya n

2. Buat augmented matrik [A|B] namakan dengan A

3. Untuk baris ke i dimana i=1 s/d n, perhatikan apakah nilai ai,i =0 : Bila ya :

pertukarkan baris ke i dan baris ke i+k≤n, dimana ai+k ,i ≠0, bila tidak ada berarti perhitungan tidak bisa dilanjutkan dan proses dihentikan dengan tanpa penyelesaian. Bila tidak : lanjutkan

4. Untuk baris ke j, dimana j = i+1 s/d n

Flowchart :

Kelebihan dan Keuntungan :

Mengubah sistem persamaan linier yang ingin dihitung menjadi matriks augmentasi. merupakan variasi dari eliminasi gauss dengan kebutuhan dapat menyelesaikan matriks invers.

Contoh soal :

Ref :

http://almer-farhan.blogspot.com/2012/03/perbedaan-eliminasi-gauss-dengan.html

Biografi Wilhelm Jordan

Wilhelm Jordan (1 Maret 1842, Ellwangen, Württemberg - 17 April 1899, Hanover) adalah geodesist Jerman yang melakukan survei di Jerman dan Afrika dan mendirikan jurnal geodesi Jerman.

Jordan lahir di Ellwangen, sebuah kota kecil di selatan Jerman. Ia belajar di institut politeknik di Stuttgart dan setelah bekerja selama dua tahun sebagai asisten teknik pada tahap-tahap awal pembangunan kereta api ia kembali ke sana sebagai asisten di geodesi. Pada tahun 1868, saat ia berusia 26 tahun, ia diangkat penuh profesor di Karlsruhe. Pada tahun 1874 Yordania mengambil bagian dalam ekspedisi Friedrich Gerhard Rohlfs ke Libya. Dari tahun 1881 sampai kematiannya ia adalah profesor geodesi dan praktis geometri di Universitas Teknik Hanover. Dia adalah seorang penulis yang produktif dan kerja terkenal adalah miliknya Handbuch der Vermessungskunde (Textbook of Geodesi.)

Dia dikenang antara matematika untuk algoritma eliminasi Gauss-Jordan, dengan Yordania meningkatkan stabilitas algoritma sehingga dapat diterapkan untuk meminimalkan kuadrat kesalahan dalam penjumlahan dari serangkaian survei pengamatan. Teknik ini aljabar muncul dalam edisi ketiga (1888) Buku Ajar tentang Geodesi.

Wilhelm Jordan tidak menjadi bingung dengan matematika Camille Jordan (Teorema melengkung Jordan), atau dengan fisikawan Jerman Pascual Jordan (Yordania algebras).

ref :

http://en.wikipedia.org/wiki/Wilhelm_Jordan_%28geodesist%29

Biografi Johann Carl Friedrich Gauss

Johann Carl Friedrich Gauß (juga dieja Gauss) (lahir di Braunschweig, 30 April 1777 – meninggal di Göttingen, 23 Februari 1855 pada umur 77 tahun) adalah matematikawan, astronom, dan fisikawan Jerman yang memberikan beragam kontribusi; ia dipandang sebagai salah satu matematikawan terbesar sepanjang masa selain Archimedes dan Isaac Newton.

Dilahirkan di Braunschweig, Jerman, saat umurnya belum genap 3 tahun, ia telah mampu mengoreksi kesalahan daftar gaji tukang batu ayahnya. Menurut sebuah cerita, pada umur 10 tahun, ia membuat gurunya terkagum-kagum dengan memberikan rumus untuk menghitung jumlah suatu deret aritmatika berupa penghitungan deret 1+2+3+...+100. Meski cerita ini hampir sepenuhnya benar, soal yang diberikan gurunya sebenarnya lebih sulit dari itu.

Gauss ialah ilmuwan dalam berbagai bidang: matematika, fisika, dan astronomi. Bidang analisis dan geometri menyumbang banyak sekali sumbangan-sumbangan pikiran Gauss dalam matematika. Kalkulus (termasuk limit) ialah salah satu bidang analisis yang juga menarik perhatiannya.

Gauss meninggal dunia di Göttingen.

Sebagai salah satu matematikawan terbesar sepanjang masa, selain Archimedes dan Isaac Newton, Gauss melakukan penelitiannya di observatorium astronomi di gottingen, kota kecil di jantung jerman. Yang dengan segera menciptakan tradisi matematis yang membuat Gottingen dan universitasnya menjadi pusat matematika dunia.

Gauss memberikan beragam kontribusi yang variatif pada bidang matematika. Bidang analisis dan geometri mengandung banyak sekali sumbangan-sumbangan pikiran Gauss, ide geometri non Euclidis ia garap pada 1797. Tahun 1799 menyumbangkan tesis doktornya mengenai Teorema Dasar Aljabar. Pada 1800 berhasil menciptakan metode kuadrat terkecil . Dan pada 1801 berhasil menjawab pertanyaan yang berusia 2000 tahun dengan membuat polygon 17 sisi memakai penggaris dan kompas. Di tahun ini juga menerbitkan Disquisitiones Arithmeticae, sebuah karya klasik tentang teori bilangan yang paling berpengaruh sepanjang masa. Gauss menghabiskan hampir seluruh hidupnya di Gottingen dan meninggal di sana juga.

Gauss ialah ilmuwan dalam berbagai bidang: matematika, fisika, dan astronomi. Bidang analisis dan geometri menyumbang banyak sekali sumbangan-sumbangan pikiran Gauss dalam matematika. Kalkulus (termasuk limit) ialah salah satu bidang analisis yang juga menarik perhatiannya.

ref :

http://id.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gauss